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Introduzione ai metodi e presentazione degli strumenti di base della topologia generale e della topologia algebrica. 15 settembre 2013 lunedì 09.00 -11.00 aula D dal 01.02.2014 al 30.06.2014 L'esame consta di una prova orale. aprile 2014
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ELEMENTI DI
TOPOLOGIA GENERALE Funzioni continue in un punto. Funzioni continue. Omeomorfismi. Sottospazi di uno spazio topologico. Prodotto di spazi topologici. Spazi topologici quozienti. Assiomi di separazione e di numerabilità. Spazi separabili. Spazi metrici. Esempi di spazi metrici. Topologia indotta da una metrica. Spazi metrizzabili. Assiomi di numerabilità e di separazione negli spazi metrici. Sottospazi di uno spazio metrico. Successioni convergenti. Successioni di Cauchy. Spazi metrici completi. Spazi topologici connessi. Connessione e connessione per poligonali in R^n. Spazi connessi e applicazioni continue. Componenti connesse. Spazi topologici compatti. Spazi compatti e applicazioni continue. Compattezza in R^n. ELEMENTI DI
TOPOLOGIA ALGEBRICA Archi e lacci in uno spazio topologico. Lemma di incollamento. Concatenazione di archi e lacci. Connessioni per archi. Sottospazi connessi e sottospazi stellati di R^n. Componenti connesse per archi. Omotopia (libera) tra mappe di uno spazio topologico in un altro. Omotopia lineare e insiemi convessi. Omotopia tra mappe costanti. L’omotopia sull’insieme delle mappe tra due spazi topologici è di equivalenza. Equivalenze omotopiche e spazi omotopicamente equivalenti. Spazi contraibili e esempi notevoli. Omotopia di mappe tra coppie di spazi. Omotopia tra lacci. Gruppo fondamentale di uno spazio topologico puntato. Indipendenza dal punto base del gruppo fondamentale per gli spazi connessi per archi. Funtorialità del gruppo fondamentale. Gruppo fondamentale ed equivalenze omotopiche. Spazi semplicemente connessi. Esempi notevoli di spazi semplicemente connessi. Gruppo fondamentale della circonferenza. Teorema dell’invarianza della dimensione per R^2. Teorema del punto fisso di Brouwer. Calcolo del gruppo fondamentale di sottospazi notevoli di R^n. Utilizzo del gruppo fondamentale per provare che due spazi non sono omeomorfi. Teorema fondamentale dell’algebra.
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